kann man hier lesen. Siehe auch die Links dort.

Und so gewinne ich – sehr wahrscheinlich – immer, denn es gibt keinen besten Würfel,
für jeden gibt’s einen besseren!
Und deshalb nennt man so etwas: „Paradoxe Würfel“
Und der Gewinner gewinnt – im Durchschnitt – mit 2 zu 1.

Übrigens, ich habe festgestellt, je weniger jemand mathematisches Verständnis hat, desto weniger wundert der sich darüber. Wer von Mathe keine Ahnung hat, der wundert sich gar nicht!
Es geht auch mit 3 Würfeln. Siehe hier.

Also können wir mit den vier Farben nur zwei farblich verschieden aussehende Tetraeder herstellen!
War doch eigentlich gar nicht so schwer – oder?

Und wieviele verschieden aussehende Würfel kannst Du mit 6 Farben machen?
Das ist nicht ganz so leicht !

Frage: Wieviel wiegen nun die Beeren insgesamt?

Aha, denkst du vielleicht, das ist doch ruckzuck ausgerechnet und findest die Lösung: 9,9 kg.

Tröste Dich, das sagen die meisten. ABER: das ist falsch!

Denn die richtige Lösung lautet: 5 kg
Wieso? Wenn der Wasseranteil bei 10kg Beeren 99 Prozent, also 9.900 Gramm beträgt, dann ist der Fruchtanteil die verbleibenden 100 Gramm. Wenn das Wasser nun verdunstet, bleibt der Fruchtanteil ja unverändert, beträgt also nach wie vor 100 Gramm.

Bei 98 % Wasseranteil stellt dieser Fruchtanteil von 100 Gramm nun also 2 Prozent dar. Und wenn 2 Prozent 100 Gramm sind, dann sind 100 Prozent (also der Frucht- plus der jetzige Wasseranteil) das Fünfzigfache, also 5.000Gramm= 5kg Gramm.

Das Bild zeigt einen Kreisel mit waagerechter Achse, an beiden Achsen aufgehängt an der Decke über jeweils ein Lager, Haken, Schnur und nochmal Haken.

Was passiert, wenn der Kreisel sich nicht dreht und die eine Schnur im Bild durchgeschnitten wird? Der Kreisel kippt dann einfach nach unten. Was dagegen geschieht, wenn er rotiert?

Dann scheint die Schwerkraft wundersamerweise nicht mehr zu wirken, denn die Kreiselachse bleibt einfach in der annähernd waagerechten Lage. Wie kann das sein? (Beinahe jeder, der das zum ersten Mal sieht, ist fasziniert. Wer nicht fasziniert ist, dem -so meine ich – fehlt etwas (;-)). Das Drehmoment aus Gewicht mal Aufhängeabstand versucht die Drehzahl zu verändern, aber die Änderung wirkt – und das ist das Entscheidende – immer nur im rechten Winkel zur aktuellen Drehung, weil dies Drehmoment hier eben immer im rechten Winkel zum Drehung des Kreisels steht.

Deshalb ist die Änderung der Drehzahl nur eine Richtungsänderung; das heißt die Kreisel-Achse schwenkt mehr oder weniger langsam in der waagerechten Ebene um die verbliebene Aufhängung. Sie schwenkt also z.B. (bei der angezeigten Drehung und wenn jene Schnur durchgeschnitten wird) von Nord nach Ost, nach Süd, nach West, wieder nach Nord usw. Dabei ist bemerkenswerterweise dies Schwenken umso langsamer, je schneller der Kreisel rotiert!

Nehmen wir an, die eigentliche Kreiselscheibe habe 10 cm Radius und wiege 1kg und der Rest sei so viel leichter, dass der zu vernachlässigen ist. Nehmen wir weiter an, von Aufhängung zu Aufhängung sei es 10 cm, also von einer Aufhängung bis zur Scheibe = 0,05m, und der Kreisel rotiert mit 10 Umdrehungen pro Sekunde.

Die Rechnung:

Das „Massenträgheitsmoment“ MTM ist 0,5 × m × r² = 0,5 × 1kg × (0,1m)² = 0,005kgm²

Es gilt: Drehmoment mal Zeit ist Änderung von 2pi mal Drehzahl mal MTM. Die annähernd waagerechte Achse läuft demnach einmal herum in…

t_Umlauf = 2×3,14×(0,005kgm² × 2×3,14×10/s)/(1kg × 9,806m/s² × 0,05m)= 4Sekunden

Wenn der Kreisel dagegen mit 150 Umdrehungen pro Sekunde rotiert, dann dauert es eine ganze Minute, bis die Achse wieder in der Anfangsstellung ist! Aber die Achse kippt nicht hinunter! In der Tat – ein höchst interessantes Gebilde.

Weiter mit dem Kreisel . . . . .

Schau Dir das Bild an. Da sitzt eine junge Frau auf einem Drehstuhl, hat ein rotierendes Rad in Händen und ist dabei, die Radachse von senkrecht nach waagerecht zu drehen. Was geschieht, während sie die Radachse in die waagerechte Position dreht? Da fängt der Stuhl an, sich zu drehen, denn der Gesamt-Drehimpuls – zum Drehimpuls gehört die Richtung! – vorher und nachher muss nämlich erhalten bleiben. Wo kommt denn dieser Drehimpuls her? Der kommt vom Rad, denn der vertikale Drehimpuls dort schwindet. Wo aber kommt die dafür nötige Drehenergie her? Denn Drehimpuls und Drehenergie ist etwas verschiedenes! Nun habe ich schon mehrfach gelesen, dies wird so begründet, dass die Drehenergie des Rades sich dem Drehstuhl überträgt – also wenn der Drehstuhl dreht, rotiert das Rad langsamer. Und das ist falsch! Durch irgendein Kippen seiner Achse ändert sich bei einem rotierenden Rad nicht seine Drehzahl um eben diese Achse.

Interessant ist, dass wenn der Drehstuhl am Drehen gehindert wird, genügt ein allerkleinstes Drehmoment zum Kippen der Radachse von der Senkrechten in die Waagerechte. Dabei entsteht ein Drehmoment um die Senkrechte, welches den Drehstuhl drehen will. Wenn aber der Drehstuhl nicht am Drehen gehindert wird, die waagerechte Komponente der Radachse deshalb zudem mit dem Drehstuhl um die Senkrechte dreht, so entsteht ein zusätzliches Drehmoment, und zwar gegen jenes Kippen von der Senkrechten in die Waagerechte. (Und gerade dieses Gegendrehmoment gegen das Kippen der Radachse ist es, das in den fraglichen Erklärungen des Drehstuhls ignoriert wird!) Also muss für das Kippen Energie aufgebracht werden – und die kommt von der Person (siehe). Und es ist diese Energie (also nicht die Drehenergie des Rades), die in das Drehen des Drehstuhls geht. Falsch sieht man es z.B. hier, und hier, und dies von der Humboldt-Universität in Berlin! (Jedoch inzwischen – Dezember 2007, ich hab’s kritisiert – war man dort dabei, es zu korrigieren; aber ist – Dezember 2008, man kann’s kaum glauben – immer noch nicht fertig damit! Eines ist – halbwegs! – korrigiert, das zweite immer noch krottenfalsch. Wie lange noch?)

Der Lande-Anflug

Gleich hat mich die Erde wieder

Ich stehe.

Erst trag ich ihn. Dann trägt er mich. Dann trage ich ihn wieder…

Das Foto wurde im Januar 2005 mit der Webcam des dfc-Südschwarzwald aufgenommen.

Vielleicht ist deine Lösung so:

Du lässt beide Sanduhren laufen. Wenn die 3-er Uhr abgelaufen ist, gibst Du das Ei ins kochende Wasser. Die 5-er Uhr läuft nun noch zwei Minuten. Wenn diese abgelaufen ist, drehst Du sie um und lässt sie nochmal 5 Minuten laufen und nimmst am Ende das Ei aus dem Wasser, das nun 7 Minuten gekocht wurde.

Diese Lösung ist nicht schlecht, aber Du brauchst dafür insgesamt 10 Minuten, weil Du erst mal 3 Minuten Vorlauf hast und so diese Zeit ungenutzt verstreicht. Und wenn das Ei-Kochen zu einem beliebigen Zeitpunkt spontan starten soll, dann klappt Deine Methode gar nicht.

Es gibt noch eine andere Lösung, wo Du gleich am Anfang mit den 7 Minuten beginnst.

Diese Lösung ist schwerer, kriegst Du’s heraus?

Ist nun Deine Lösung so:
Du drehst, wenn das Ei ins kochende Wasser kommt, beide Uhren um.

Wenn die 3-er Uhr abgelaufen ist, drehst Du diese um und sie läuft erneut.

Wenn die 5-er Uhr abgelaufen ist, verbliebe der 3-er Uhr noch eine Minute, und Sand für zwei Minuten ist durchgelaufen. Wenn Du jetzt sofort die 3-er Uhr umdrehst, wird sie weitere zwei Minuten laufen, denn der Sand dafür ist nun oben.

Danach sind insgesamt 7 Minuten vergangen, und das 7-Minuten-Ei kann herausgenommen werden.

Wenn das deine Lösung ist, dann gratuliere ich!

Eine andere, eine richtige (die übliche) Erklärung sagt, dass Luft, wenn sie höher und dadurch unter weniger Druck kommt – weil immer weniger Luft von oben drückt -, sich durch die “Adiabatische Expansion” (Ausdehnung ohne Wärmeaustausch) abkühlt. Aber darunter lässt sich nicht leicht etwas Anschauliches vorstellen. Und die diesbezügliche Rechnung ist gar nicht einfach.

Des öfteren schon war mir durch den Sinn gegangen, dass es eine einfachere Erklärung für die Temperaturabnahme geben muss. Und ich fand eine andere Erklärung, rechnete – und siehe da: es ergibt sich das ganz genau Selbe wie mit der “Adiabatischen Expansion”. Aber meine Erklärung ist sehr viel einfacher und direkter – zudem brauche ich dafür den oben erwähnten Druck nicht. Ja, ich gehe so weit zu sagen: Die Temperaturabnahme mit dem abnehmenden Luftdruck zu erklären, ist ein ganz und gar unnötiger Umweg – und verstellt den Blick fürs Wesentliche.

Also warum ist es oben kälter? Vorab und kurz gesagt: Der Grund ist die irdische Schwerkraft. Aus dem selben Grund, warum ein nach oben geworfener Stein auf dem Weg nach oben wegen der Erdanziehung immer langsamer wird (und zum Stillstand kommt, bevor er wieder nach unten fällt), aus dem selben, einfachen Grund wird es oben kälter. Und so wie beim Stein die Geschwindigkeitsabnahme mit steigender Höhe auszurechnen ist, ebenso – fast genauso einfach – lässt sich die Temperaturabnahme der Luft herleiten. Und dies geschieht nun im Folgenden (um das zu verstehen, sind keine besonderen Kenntnisse nötig):

Was ist denn eigentlich Wärme bei Luft? Warme Luft unterscheidet sich dadurch von kälterer, dass die Luftmoleküle sich – völlig ungeordnet – mehr bewegen: eben das ist Wärme! Und während der geworfene Stein beim Nach-oben-Steigen Bewegungsenergie (kinetische Energie) verliert, indem er sichtbar langsamer wird, verlieren die Luftmoleküle beim Nach-oben-Steigen gleichfalls Bewegungsenergie, indem sie auch langsamer und damit fühl- und messbar kälter werden. Die Bewegungsenergie der Luftmoleküle drückt sich in deren Temperatur aus ! Und nun stellt sich zunächst die Frage: Welche kinetische Energie haben denn die Luftmoleküle hier unten – bei zum Beispiel 15 Grad?

Allgemein ist die kinetische Energie eines bewegten Gegenstandes 1/2 mal Masse mal Geschwindigkeit im Quadrat (diese Allerweltsformel sollte jeder kennen), wobei hier Masse die des Luftmoleküls ist (die Erdanziehung macht aus der Masse das Gewicht). Und wie groß ist nun die Geschwindigkeit des Luftmoleküls? Hier lässt sich nun – und dies ist die einzige Komplikation! – nicht einfach nur eine Zahl angeben. Denn die Bewegung und damit Bewegungsenergie der Luftmoleküle lässt sich nämlich auf drei plus zwei Geschwindigkeits-Komponenten (Bestandteile) aufteilen. Und eben über diese Geschwindigkeits-Komponenten kommt man recht einfach – wie nun folgt – zur Gesamt-Bewegungsenergie.

Wegen ihrer Wärme flitzen die Luftmoleküle wild umher in alle Richtungen und stoßen ständig gegen andere – pro Sekunde viele Billionen Mal. Beim Stoß prallen sie voneinander ab und wechseln dabei Geschwindigkeit und Richtung. Dieser wirren Bewegung ließe sich eine – bezüglich ihrer Energie - mittlere Geschwindigkeit zuordnen. Wird zudem nach Geschwindigkeitsrichtung unterschieden, so lässt sich diese mittlere Geschwindigkeit vollständig auf drei Komponenten mit zueinander rechtwinklig angeordneten Richtungen aufteilen: zum Beispiel auf-ab, vor-zurück, links-rechts. Warum rechtwinklig zueinander?: mit der Kombination so aufgeteilter Komponenten lassen sich einerseits alle Raumrichtungen erfassen. Andererseits haben so aufgeteilte Geschwindigkeits-Komponenten je ihre eigene Energie – und so lassen sich deren Einzelenergien einfach addieren. Und wie groß ist nun eine (von diesen dreien) in eine Richtung weisende Komponente? Es ist eben jene Geschwindigkeit, mit der die Luftmoleküle in diese eine Richtung vorankommen – sie kommen zwar gar nicht weit, da sie gegen andere stoßen, aber jene kommen weiter, und so fort. Und so kann – wie bei einem Stafettenlauf – von Stoß zu Stoß, von Molekül zu Molekül etwas weitergegeben werden. Dieses “etwas” ist der Schall. Dies heißt also: Die (energiemäßig) mittlere Geschwindigkeit in eine Richtung ist gerade gleich der Schallgeschwindigkeit! Und die ist bekannt: 340,3 Meter pro Sekunde bei 15 Grad (wenn kälter, dann weniger). Für die beiden anderen Richtungen gilt dasselbe, und somit hat also ein Luftmolekül für jede dieser drei Geschwindigkeits-Komponenten bei 15 Grad eine mittlere Bewegungsenergie von 1/2×Masse×(340,3m/s)2.

Nun zu jenen zwei weiteren Geschwindigkeits-Komponenten, in der auch noch Bewegungsenergie (also Wärme) steckt. Moleküle bestehen aus Atomen, und Luftmoleküle fast gänzlich aus zwei, je gleichartigen Atomen, die miteinander verbunden sind – wie eine kleine Hantel (siehe Bild). Durch die ständigen Stöße, wobei die beiden Atome meist ungleichmäßig getroffen werden, bekommen die Luftmoleküle nicht nur einen Stoß in eine Richtung, sondern – eben durch den ungleichmäßigen Stoß – auch noch eine Drehung (Rotation). Und deshalb flitzen sie nicht nur schnell davon, sondern drehen sich noch – ebenso schnell kreisen beide Atome umeinander. Auch Drehbewegungen lassen sich in Bestandteile aufteilen, und zwar bezüglich der Richtung ihrer Drehachse (z.B. Achse A, B, C) in drei senkrecht zueinander stehende Komponenten mit je eigener Rotationsenergie. Da fast alle Luftmoleküle aus zwei Atomen bestehen, ergeben sich bei dieser Aufteilung nur zwei Drehrichtungen, bei der die beiden Atome mit jener (energiemäßig mittleren) Geschwindigkeit umeinander kreisen. Um die dritte Dreh-Achse, und zwar längs der “Hantel”-Achse C, gibt es – offensichtlich – kein Umeinanderkreisen und somit auch keine diesbezügliche Rotationsenergie. Und so hat mit diesen beiden Komponenten und den drei oben erwähnten das Luftmolekül schließlich fünfmal von jener Energie (es heißt: Wärme hat bei Luft fünf “Freiheitsgrade”). Also: Die gesamte Bewegungsenergie der Luftmoleküle hier unten bei 15 Grad ist somit

fünfmal 1/2 × Masse × (340,3m/s)²

Mit dieser Energie flitzen die Luftmoleküle umher und eben auch nach oben und verlieren so beim Bewegen gegen die Erdanziehung an Bewegungsenergie, werden langsamer – wie der nach oben geworfene Stein. Zwar gelangt das einzelne Luftmolekül so kaum ganz nach oben, weil es ständig gegen andere stößt. Aber da beim Stoß Energie von einem Luftmolekül zum anderen weitergegeben wird, tritt somit das eine an die Stelle des anderen – bis oben hin. Und obwohl beim Nach-oben-Flitzen bis zum nächsten Stoß zunächst nur die eine der fünf Bewegungen – die nach oben gerichtete – wegen der Erdanziehung abnimmt, findet durch die ständigen Stöße immer wieder ein Ausgleich statt; und so nehmen alle fünf ab beim Weg nach oben.

Auf welche Höhe würden die Luftmoleküle so – im Mittel und theoretisch – nach oben gelangen, bevor sie ihre gesamte Bewegungsenergie (thermische Energie, Wärme) verloren hätten? Es wird dabei wie beim Stein Bewegungsenergie unten in Lageenergie (potentielle Energie) oben umgesetzt. Die Lageenergie ist

Gewicht × Höhe (je höher ein Gewicht gehoben wird, desto mehr Energie steckt drin – merkt man beim Herunterfallen), wobei das Gewicht wiederum sich ergibt aus

Masse × Erdanziehungsfaktor (ein Kilogramm wiegt auf dem Mond viel weniger als hier auf Erden). Da die Lageenergie oben von der Bewegungsenergie (Wärme) unten herrührt, lassen sich die beiden Energien gleichsetzen, also Lageenergie oben ergibt sich aus Bewegungsenergie unten:

Masse × Erdanziehungsfaktor × Höhe = 5 × 1/2 × Masse × (340,3m/s)²

Die Höhe, bei der – im Mittel und theoretisch – alle Bewegungsenergie (thermische Energie, also Wärme) so aufgebraucht wäre und dann ganz in der Lageenergie steckte, erhält man mit dem Teilen beider Seiten der Gleichung durch Masse und den Erdanziehungsfaktor (genannt Erdbeschleunigung g = 9,81m/s/s ). Somit

Höhe = 5/2 × 340,3²/9,81 Meter, ergibt eine Höhe von 29512 Meter. Da hätte die Luft (theoretisch, wenn nichts “stören” würde!) also eine Temperatur von absolut Null = minus 273 Grad, das heißt keine Wärme, keine thermische Energie mehr. Die Temperatur nähme demnach von unten bis 29512 Meter Höhe um 288 Grad ab – von plus 15Grad auf minus 273Grad. Teilt man die 29512 Meter nun durch diese 288 Grad (ist die absolute Temperatur T0 für 15 Grad Celsius am Boden), so erhält man

102,5 Meter pro Grad
Und das war tatsächlich schon die ganze Rechnerei – so einfach; alle 102,5 Meter nähme demnach die Temperatur um ein Grad ab. (Alles zusammengefasst in der Formel daneben.)

Jedoch dieser beschriebene Vorgang der Temperaturabnahme ist “Störungen” unterworfen. Und den Einfluss solcher Störungen zeigt die so genannte “Standardatmosphäre”, die besagt nämlich, tatsächlich misst man – durchschnittlich – 154 Meter pro Grad. Das heißt die Temperatur der Lufthülle nimmt nach oben etwas weniger stark ab (sie ist mehr oder weniger “stabil geschichtet”). Der Grund dafür ist vor allem wetterbedingt, wie zum Beispiel Sonneneinstrahlung oder Einfließen von anders temperierten Luftmassen. Eingeflossene wärmere (und damit leichtere) Luft legt sich eher oben hin, eingeflossene kältere (schwerere) eher unten – beides mindert so die Temperaturabnahme nach oben. (Und deshalb und auch wegen anderer Störungen reicht die Lufthülle in Wirklichkeit höher als jene theoretischen 29512 Meter.)

Also einfach indem sie gegen die Erdanziehung anrennen, verlieren die Luftmoleküle pro 102,5 Meter soviel an Bewegungsenergie (das heißt Wärme!), dass sie dadurch jeweils ein Grad kälter werden. Und dies ist der unmittelbare Grund dafür, dass es nach oben kälter wird. Und das Wettergeschehen mindert diese Temperaturabnahme etwas.

Wie schon gesagt, wenn gemäß der üblichen Erklärung, die „Adiabatische Expansion“, gerechnet wird, kommt man zum genau selben Ergebnis. Nur jene Rechnung versteht kaum jemand. Aber wer will, der kann sich – nur so zum Vergleich – eine dementsprechende Herleitung anschauen, und dann sieht er, dass meine einfache Erklärung zum selben Ergebnis führt.

Und hier meine eigene Erklärung zu Erwärmung durch Luftreibung.

Luftreibung, mal anders gesehen
Abgeleitet von den Gedanken, die ich in dem Aufsatz „Warum ist die Luft oben kälter?“ hatte, bin ich zu einer anderen Sichtweise von Erwärmung durch Luftreibung gekommen. Und zwar sehe ich diese folgendermaßen:

Luft ist warm, weil sich die Luftmoleküle bewegen – eben das ist Wärme. Die Luftmoleküle haben (wie im obigen Aufsatz ausgeführt) fünf Arten der Bewegung: drei Bewegungen in den drei Raumrichtungen und zwei Rotationsbewegungen. Bei 15 Grad Celsius bewegen sich die Luftmoleküle mit einer (energiemäßig) mittleren Geschwindigkeit von 340m/s in jede der drei Raumrichtungen (Schallgeschwindigkeit). Hierbei entspricht die Temperatur der Bewegungsenergie der Luftmoleküle und damit dem Quadrat der Bewegungsgeschwindigkeit. Wenn nun Luft auf einen Gegenstand (mit der Geschwindigkeit v_Z) strömt oder der Gegenstand sich in der Luft (mit der Geschwindigkeit v_Z) bewegt, so kommt eine sechste Bewegungsart hinzu, die nichts mit den anderen fünf zu tun hat. Die Energie dieser sechsten Bewegungsart ergänzt die anderen fünf. Und somit ist für den Gegenstand die Luft wärmer. Also ohne die sechste Bewegungsart hat die Luft bei 15Grad Celsius (ist absolute Temperatur von 288 Kelvin) eine Bewegungsenergie entsprechend

5 mal (340m/s)²

kommt die sechste Bewegungsart (mit der Geschwindigkeit v_Z) hinzu, entspricht es

5 mal (340m/s)² plus 1-mal (v_Z)²

Setzt man nun das links vom „plus“ mit dem rechts vom „plus“ so zueinander ins Verhältnis, sodass das linke den 288 Kelvin (15 Grad C) und das rechte dem Temperaturzuwachs entsprechen soll, so ergibt sich dieser aus der zusätzlichen Bewegung herrührende Temperaturzuwachs T_Z

T_Z=288Grad/5 × (v_Z/340m/s)²

Dies habe ich schon einmal nachgeprüft, indem ich bei einem Bekannten im Auto mitfahrend und den Fühler eines hochgenauen elektronischen Thermometers an einem Besenstiel weit aus dem Fenster haltend mehrfach mal langsam, mal schnell fahrend den Temperaturunterschied an mehreren Stellen der Strecke gemessen und notiert habe. Es ergab sich mit verblüffender Genauigkeit (auf ein zehntel Grad genau) bei 160km/h = 44,4m/s eine Temperaturerhöhung von 1,0 Grad – wie obige Rechnung aussagt. Demnach wäre für ein Flugzeug, dass mit 1000km/h fliegt, die (oben sonst sehr kalte) Luft um 38Grad wärmer, als sie tatsächlich ist.

Also ich sehe es so: die bewegte Luft „reibt“ nicht an dem Gegenstand, sondern sie ist wärmer für den Gegenstand. Übrigens für einen Satelliten, der aus einer erdnahen Umlaufbahn – mit dann ca. 7,4km/s – in die Erdatmosphäre eintaucht, ist die Luft über siebenundzwanzig Tausend Grad wärmer. Kein Wunder, dass der größte Teil verdampft ist, wenn er unten ankommt – falls ihn kein Hitzeschild schützt.